Tema 12: Espacios Vectoriales. Variedades Lineales. Aplicaciones Lineales. Teoremas de Isomorfía
Oposiciones Matemáticas
1 Introducción
Este tema aborda uno de los conceptos unificadores más importantes de la matemática moderna: la estructura de Espacio Vectorial. Partiendo de la generalización de las propiedades operativas de los vectores físicos y los números complejos, estableceremos la axiomática formal de estos espacios sobre un cuerpo $\mathbb{K}$. Analizaremos sus subestructuras fundamentales (las Variedades Lineales o Subespacios) y construiremos la noción de dimensión a través de la Dependencia Lineal y las Bases (apoyados en el Teorema de Steinitz). Finalmente, estudiaremos las transformaciones que preservan esta estructura, las Aplicaciones Lineales, culminando con los tres Teoremas de Isomorfía de Noether aplicados a espacios vectoriales, piezas clave para comprender la estructura íntima del álgebra lineal.
El ente denominado vector era ya utilizado en Mecánica desde finales del siglo XVIII para la composición de fuerzas y velocidades. Matemáticamente hablando, comenzó a tener importancia cuando Gauss en el siglo XIX utiliza implícitamente la suma vectorial en su representación de los números complejos en el plano.
La primera definición axiomática que se dio fue la de Hermann Weyl en 1918, en su tratado Space-Time-Matter, que escribió como introducción a la teoría de la relatividad de Einstein.
Pero si hay un nombre ligado a la teoría de Álgebra Lineal, éste es sin duda Hermann Grassmann. Grassmann escribió dos tratados sobre la teoría de vectores, siendo el segundo una versión revisada del primero (demasiado filosófico). Este último tratado, llamado Teoría de la Extensión, es sin duda una de las mejores exposiciones sobre la teoría de espacios vectoriales escritas hasta la fecha.
Comenzaremos con la definición axiomática de espacio vectorial, de la que deduciremos una serie de consecuencias y veremos algunos ejemplos. Estudiaremos las variedades lineales como un caso particular de espacio vectorial. Daremos la definición de combinación lineal de vectores, de la que extraeremos el concepto de base. Terminaremos con las aplicaciones lineales, que nos llevarán a los Teoremas de Isomorfía.
2 Estructura de Espacio Vectorial
2.1. Definición de Espacio Vectorial
Para la construcción de un espacio vectorial, vamos a necesitar un cuerpo conmutativo $\mathbb{K}$ y un conjunto $V$ no vacío, en el que tengamos definidas las leyes de composición:
- LC1: Una ley de composición interna $\oplus: V \times V \rightarrow V$
- LC2: Una ley de composición externa $\circ: \mathbb{K} \times V \rightarrow V$
de manera que se cumplan las siguientes propiedades a modo de axiomas:
- AX.1: $(V, \oplus)$ es un grupo abeliano.
- AX.2: $\lambda \circ (u \oplus v) = (\lambda \circ u) \oplus (\lambda \circ v)$, $\quad \forall \lambda \in \mathbb{K}$, $\forall u, v \in V$.
- AX.3: $(\lambda + \mu) \circ u = (\lambda \circ u) \oplus (\mu \circ u)$, $\quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}$, $\forall u \in V$.
- AX.4: $\lambda \circ (\mu \circ u) = (\lambda \cdot \mu) \circ u$, $\quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}$, $\forall u \in V$.
- AX.5: $1 \circ u = u$, $\quad \forall u \in V$ (donde $1$ es el neutro multiplicativo de $\mathbb{K}$).
A los elementos de $V$ los llamaremos vectores y a los de $\mathbb{K}$ escalares. Para distinguirlos mejor, usaremos letras griegas para los escalares, y las letras $u, v, w\dots$ para los vectores. Aunque en Secundaria se utiliza la notación $\vec{u}$, para denotar al vector $u \in V$, en este caso y puesto que en todo caso hablamos de vectores, se hace innecesaria la presencia de la flecha encima de la letra.
Diremos también que la terna $(V, \oplus, \circ)$ tiene estructura de $\mathbb{K}$-espacio vectorial. La operación $\oplus$ recibirá el nombre de suma, y la operación $\circ$ el nombre de producto por escalares. En adelante utilizaremos las notaciones comunes de $+$ (tanto para vectores como para escalares) y $\cdot$ para la suma y para el producto por escalares, quedando claro que $\lambda u$ es el producto $\lambda \cdot u$, $\forall \lambda \in \mathbb{K}$, $\forall u \in V$.
Las propiedades 2 y 3 vienen a ser dos propiedades distributivas de la ley externa $\circ$ con respecto a la suma de vectores. El axioma 4 es una propiedad pseudoasociativa, pues intervienen dos operaciones distintas. Y el axioma 5 hace referencia a la neutralidad de $1$ con respecto al producto por escalares.
En el caso de que el cuerpo $\mathbb{K}$ sea el de los reales $\mathbb{R}$, diremos que $V$ es un espacio vectorial real, o un $\mathbb{R}$-espacio vectorial.
Estudiemos algunas propiedades, consecuencia de la definición.
2.2. Consecuencias inmediatas
En adelante, denotaremos por $\overline{O}$ al elemento neutro de $V$ para la suma, y por $-u$ al simétrico de $u$, $\forall u \in V$. En estas condiciones, se cumplen:
- C1: $0u = \overline{O}$
- C2: $\lambda \overline{O} = \overline{O}$
- C3: $\lambda u = \overline{O} \Rightarrow \lambda = 0 \vee u = \overline{O}$
- C4: $(-\lambda)u = \lambda(-u) = -(\lambda u)$
- C5: $\lambda u = \mu u$ y $u \ne \overline{O} \Rightarrow \lambda = \mu$
- C6: $\lambda u = \lambda v$ y $\lambda \ne 0 \Rightarrow u = v$
Demostraremos las propiedades C5 y C6, por ser las menos obvias.
C5: $\lambda u = \mu u \text{ y } u \ne \overline{O} \Rightarrow \lambda = \mu$
Si $\lambda = 0 \xrightarrow{u \ne \overline{O}} \mu = 0$, y lo mismo para $\mu = 0$. Ahora bien, si suponemos que $\lambda \ne 0 \Rightarrow \mu \ne 0 \Rightarrow \lambda u - \mu u = \overline{O} \iff (\lambda - \mu)u = \overline{O}$. Dado que $u \ne \overline{O}$, por la propiedad C3, esto implica que $\lambda - \mu = 0 \iff \lambda = \mu$.
C6: $\lambda u = \lambda v \text{ y } \lambda \ne 0 \Rightarrow u = v$
Partimos de $\lambda u = \lambda v$ y $\lambda \ne 0$. Dado que $\mathbb{K}$ es un cuerpo y $\lambda \ne 0$, existe $\lambda^{-1}$. Multiplicando ambos lados por $\lambda^{-1}$ obtenemos: $$\lambda^{-1}(\lambda u) = \lambda^{-1}(\lambda v) \Rightarrow (\lambda^{-1}\lambda)u = (\lambda^{-1}\lambda)v \Rightarrow 1u = 1v \Rightarrow u = v$$
Veamos cuáles son los ejemplos más comunes de espacios vectoriales.
2.3. Ejemplos de Espacios Vectoriales
Si nos olvidamos por un momento de la propia naturaleza de algunos objetos, como pueden ser las matrices, las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, los números complejos, etc..., podemos verlos a todos como vectores de un espacio vectorial. En particular:
Si $V_2$ y $V_3$ son respectivamente los conjuntos de vectores libres del plano y del espacio que estudiamos en Bachillerato, éstos con las operaciones de suma de vectores y producto por escalares (definidos de forma geométrica, como se hace en Secundaria) representan sendos espacios vectoriales reales $(V_2, +, \cdot)$, $(V_3, +, \cdot)$.
El conjunto $\mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}$ de los números complejos, tiene estructura de $\mathbb{R}$-espacio vectorial con las operaciones:
- $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
- $\alpha(a + bi) = \alpha a + \alpha bi$
Una muestra clara de la desustanciación de algunos objetos, la tenemos en el conjunto $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ de las matrices de orden $n$ por $m$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ conmutativo, en el que las operaciones definidas son:
- $(a_{ij})_{(i,j)\in I\times J} + (b_{ij})_{(i,j)\in I\times J} = (a_{ij} + b_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$
- $\alpha(a_{ij})_{(i,j)\in I\times J} = (\alpha a_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$
siendo $I = \{1, 2, \dots, n\}$ y $J = \{1, 2, \dots, m\}$.
Ahora bien, el espacio vectorial por excelencia, lo constituye el conjunto de las $n$-uplas $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ con $x_i \in \mathbb{R}$, $\forall i = 1, \dots, n$, siendo la suma y el producto por escalares:
- $(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n)$
- $\alpha \cdot (x_1, x_2, \dots, x_n) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n)$
Este conjunto, con las operaciones definidas de suma y producto por escalares, es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial, denotado por $\mathbb{R}^n$. Podemos cambiar $\mathbb{R}$ por cualquier otro cuerpo conmutativo $\mathbb{K}$, obteniendo el $\mathbb{K}$-espacio vectorial $\mathbb{K}^n$ con $n \in \mathbb{N}$.
Otro ejemplo, muy importante, lo constituye el espacio vectorial cociente:
Definición 1: Sea $V$ un espacio vectorial, y $H$ un subespacio vectorial de $V$. Diremos que $u, v \in V$ están relacionados módulo $H$ si $u - v \in H$.
Se puede probar fácilmente que esta relación es de equivalencia, y se puede por tanto formar el conjunto cociente que designaremos por $V/H$.
Los elementos de $V/H$ son clases de equivalencia $[u]$, donde $u \in V$. Es decir, $[u] = \{u + v \mid v \in H\}$, que denotaremos también por $u + H$.
Si $u$ y $v$ son equivalentes módulo $H$ a $u_1$ y $v_1$, respectivamente, entonces $u + v$ y $u_1 + v_1$ son equivalentes módulo $H$. Podemos, pues, definir una operación suma:
$$[u] + [v] = [u + v]$$que no depende de los representantes ($(u + v) - (u_1 + v_1) = (u - u_1) + (v - v_1) \in H$). Análogamente, la operation
$$k[u] = [ku], \quad k \in \mathbb{K}$$no depende del representante $u$ (si $u' \in H \Rightarrow ku' \in H$ y $ku - ku' \in H$). Estas dos operaciones hacen de $V/H$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$.
Siempre que se define una estructura algebraica, nos preguntamos por los posibles subconjuntos que mantienen la estructura de su conjunto ambiente. En este caso, estos subconjuntos, son los que vamos a llamar subespacios vectoriales.
3 Variedades Lineales
Sea $V$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial, y sea $H$ un subconjunto de $V$ no vacío. Si las operaciones lineales de $V$, al restringirlas a los elementos de $H$, confieren a éste estructura de espacio vectorial, diremos que $H$ es un subespacio vectorial de $V$, denotándolo por $H \le_s V$.
Si $H = \{\overline{O}\}$ o $H = V$, está claro que $H$ es un subespacio vectorial con las operaciones de $V$. Así que, todo espacio vectorial, admite al menos dos subespacios vectoriales. Estos subespacios vectoriales se denominan impropios. En caso contrario diremos que son subespacios propios.
El siguiente resultado, nos reduce significativamente la tarea de verificar los axiomas AX1 a AX5 para averiguar si $H$ es un subespacio vectorial de $V$.
En las condiciones de arriba, $H$ es un subespacio vectorial de $V$ si, y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
- S1: $\forall u, v \in H$ se cumple que $u + v \in H$.
- S2: $\forall u \in H$, $\forall \lambda \in \mathbb{K}$ se cumple que $\lambda u \in H$.
S1 y S2 nos dicen que $H$ es cerrado para las operaciones de $V$. Nos queda demostrar los axiomas AX1 a AX5.
Los axiomas AX2 a AX5 se cumplen trivialmente ya que los elementos de $H$ lo son de $V$. Para demostrar AX1, basta observar que la conmutatividad y la asociatividad se cumplen, de la misma forma que se cumplen en $V$. Queda pues por demostrar que $H$ tiene elemento neutro y elemento simétrico:
Si $\overline{O} \in H$ éste debe ser el neutro de $H$, ya que $u + \overline{O} = \overline{O} + u = u$ (por ser elementos de $V$). Ahora bien, que $\overline{O} \in H$ se comprueba tomando $u \in H$ cualquiera y $\lambda = 0$. Por S2, $0 \cdot u \in H \Rightarrow \overline{O} \in H$.
Para el simétrico, utilizamos de nuevo S2. Sea $u \in H$ y $\lambda = -1$ (simétrico de $1$ en $\mathbb{K}$), entonces $\lambda u \in H \Rightarrow (-1) \cdot u \in H \Rightarrow -u \in H$.
Recíprocamente, si $H$ es un subespacio vectorial de $V$, entonces $H$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial, y luego S1 y S2 se cumplen trivialmente.
El siguiente resultado, nos reduce el trabajo aún más a la hora de comprobar si $H$ es un subespacio vectorial de $V$.
$H$ es un subespacio vectorial de $V$ si, y sólo si:
$$\forall u, v \in H, \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K} : \quad \lambda u + \mu v \in H$$La demostración es sencilla, pues basta con tomar $\lambda$ y $\mu$ convenientemente para probar S1 y S2 y viceversa.
Se puede comprobar que si $H$ y $J$ son dos subespacios vectoriales de $V$, entonces $H \cap J$ es un subespacio vectorial de $V$. Veámoslo en un ejemplo.
Sea $V = \mathbb{R}^3$ y $H = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 = 0\}$ y $J = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_3 = 0\}$. El conjunto $H \cap J$ es:
$$H \cap J = \left\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \;\middle|\; \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 \end{cases} \right\}$$que resulta ser:
$$H \cap J = \{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid x_2 - x_3 = 0 \}$$que vuelve a ser un subespacio vectorial, ya que si $u = (x_1, x_2, x_3)$ y $v = (y_1, y_2, y_3) \in H \cap J$, entonces $x_2 - x_3 = 0$ y $y_2 - y_3 = 0$, de donde $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ se tiene que:
$$\lambda u + \mu v = (\lambda x_1 + \mu y_1, \lambda x_2 + \mu y_2, \lambda x_3 + \mu y_3)$$de donde:
$$(\lambda x_2 + \mu y_2) - (\lambda x_3 + \mu y_3) = \lambda(x_2 - x_3) + \mu(y_2 - y_3) = 0 + 0 = 0$$obteniéndose que $\lambda u + \mu v \in H \cap J$, $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}$.
En el siguiente apartado vamos a generar, subespacios lineales, a partir de lo que vamos a llamar combinación lineal de vectores.
4 Dependencia e Independencia Lineal
4.1. Combinaciones Lineales
Sea $S = \{u_1, \dots, u_k\}$ un conjunto de vectores de un $\mathbb{K}$-espacio vectorial $V$.
Llamaremos combinación lineal de los vectores de $S$ a toda expresión de la forma:
$$\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_k u_k$$con $\lambda_i \in \mathbb{K}$, $\forall i$. A los $\lambda_i$'s se les llama coeficientes de la combinación lineal.
Es obvio que cualquier combinación lineal de vectores de un sistema es un vector. El vector $\overline{O}$ es combinación lineal de cualquier sistema de vectores, ya que:
$$\overline{O} = 0u_1 + \dots + 0u_k$$Y diremos que un vector $v \in V$ es linealmente dependiente de $\{u_1, \dots, u_k\}$ si $v$ es combinación lineal de ellos.
El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$ es un espacio vectorial, que denotaremos por $\langle S \rangle$.
Veamos que $\langle S \rangle$ es un subespacio vectorial.
Sean $u, v \in \langle S \rangle$, veamos que $\lambda u + \mu v \in \langle S \rangle$. Para todo $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ se tiene $u = \sum_i \lambda_i u_i$ y $v = \sum_i \mu_i u_i$. Entonces:
$$\lambda u + \mu v = \lambda \left(\sum_i \lambda_i u_i\right) + \mu \left(\sum_i \mu_i u_i\right) = \sum_i (\lambda\lambda_i) u_i + \sum_i (\mu\mu_i) u_i = \sum_i (\lambda\lambda_i + \mu\mu_i) u_i \in \langle S \rangle$$Sabemos que $\langle S \rangle$ es un subespacio vectorial, luego hemos encontrado otra forma de generar subespacios vectoriales a partir de conjuntos de vectores. La siguiente pregunta es ¿si tomo un conjunto $\{u_1, \dots, u_k\}$ de vectores, podré eliminar alguno para generar los mismos vectores? La respuesta la tenemos en el siguiente apartado.
4.2. Sistemas Libres y Ligados
Se dice que $S = \{u_1, \dots, u_k\}$ es un sistema libre de vectores de $V$, si la única combinación lineal de ellos que da como resultado el vector nulo $\overline{O}$ es la trivial. Es decir:
$$\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_k u_k = \overline{O} \Rightarrow \lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0$$En tal caso, decimos que los vectores $u_1, \dots, u_k$ son linealmente independientes.
Para caracterizar a los sistemas libres tenemos el siguiente:
Un sistema $S = \{u_1, \dots, u_k\}$ de vectores es libre si, y sólo si todo vector de $V$ que dependa linealmente de los vectores de $S$, sólo puede expresarse de una única forma como combinación lineal de éstos.
$(\Rightarrow)$ Supongamos que $S$ es libre. Si $v = \lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_k u_k$ y $v = \mu_1 u_1 + \dots + \mu_k u_k$, restando ambas expresiones obtenemos:
$$(\lambda_1 - \mu_1)u_1 + \dots + (\lambda_k - \mu_k)u_k = \overline{O}$$Ahora bien, por ser $S$ libre, la única combination lineal que da como resultado $\overline{O}$ es la trivial, luego $\lambda_i - \mu_i = 0$, $\forall i \iff \lambda_i = \mu_i$, $\forall i$.
$(\Leftarrow)$ Demostremos que $S$ es libre asumiendo la unicidad. El vector nulo $\overline{O}$ se puede expresar siempre como:
$$\overline{O} = 0u_1 + \dots + 0u_k$$Pero por hipótesis esta es la única forma de hacerlo, luego $S$ es libre por definición.
Todo sistema que no sea libre, diremos que es ligado (linealmente dependiente). Este tipo de sistemas se pueden caracterizar por el siguiente resultado.
Un sistema de vectores es ligado si, y sólo si hay al menos un vector en $S$ que es combinación lineal de los otros vectores.
La demostración es sencilla.
Experimenta con la dependencia lineal. En el simulador, dispones de dos vectores base $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Modifica los escalares $a$ y $b$ para ver cómo la combinación $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ mapea el plano. ¿Qué ocurre si alineas $\vec{u}$ y $\vec{v}$?
Los sistemas que de verdad nos van a interesar, van a ser los sistemas libres. Si nos hacemos la pregunta ¿existe algún sistema de vectores $S$ de $V$ de manera que $\langle S \rangle = V$? La respuesta la vemos clara cuando caemos en la cuenta de que $\langle V \rangle = V$. Ahora bien, si además ponemos la restricción de que dicho conjunto no sea redundante, es decir, no tenga más vectores de la cuenta, lo que queremos es un sistema libre de vectores $S$ que además cumpla $\langle S \rangle = V$. Diremos que tal conjunto de vectores es una base del espacio vectorial $V$.
Formalicemos un poco estos conceptos en el siguiente apartado.
5 Bases de un Espacio Vectorial
Definición 4: Diremos que $S \subset V$ es un conjunto generador de $V$ si $\langle S \rangle = V$. Diremos también que $S$ genera $V$.
Definición 5: Diremos que $B \subset V$ es una base de $V$ si es un sistema libre de vectores y además genera $V$.
¿Todo espacio vectorial tiene una base? La respuesta es afirmativa, podemos demostrar que todo espacio vectorial tiene una base, ahora, el problema viene cuando queremos conocer el número de vectores, y si este número es el mismo para toda base. Nos vamos a dedicar, mediante algunos resultados, a aclarar estas ideas.
Todo espacio vectorial $V \ne \{\overline{O}\}$ generado por un número finito de vectores tiene una base finita.
Sea $V = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$. Si los generadores son linealmente independientes, forman una base. En caso contrario, hay uno, pongamos $u_i$, que es combinación lineal de los otros. Entonces:
$$V = \langle u_1, \dots, u_{i-1}, u_{i+1}, \dots, u_n \rangle$$Si este nuevo conjunto de generadores es linealmente independiente, forman una base. De lo contrario, podemos suprimir como antes uno de ellos, de manera que obtengamos un nuevo sistema generador. Este proceso se repetirá tantas veces como sea necesario hasta que demos con una base, ya que en caso contrario, el sistema se reduciría a $\overline{O}$, pero sabemos por hipótesis que $V \ne \{\overline{O}\}$.
En realidad, esta demostración prueba más de lo que establece el enunciado; prueba que todo sistema generador contiene una base.
En primer lugar, podemos tomar $V = \mathbb{R}^2$ y el sistema de vectores $B = \{e_1, e_2\}$ siendo $e_1 = (1, 0)$ y $e_2 = (0, 1)$. De esta manera, si $u = (x, y)$ es un vector de $\mathbb{R}^2$, vemos que se puede expresar como:
$$u = x e_1 + y e_2$$siendo esta expresión la única, ya que si existen $x'$ e $y'$ cumpliendo que $u = x'e_1 + y'e_2$ entonces $(x, y) = (x', y')$ de donde podemos deducir que $x = x'$ e $y = y'$.
Podemos generalizar a $\mathbb{K}^n$, siendo entonces una base $\{e_1, \dots, e_n\}$ con $e_1 = (1, 0, \dots, 0)$, ..., $e_n = (0, \dots, 1)$.
Por sus consecuencias, el siguiente teorema tiene una especial importancia.
Sea $u_1, \dots, u_n$ una base del espacio vectorial $V$ y sean $v_1, \dots, v_m$ vectores linealmente independientes. Entonces se pueden sustituir $m$ vectores de la base $u_1, \dots, u_n$ por $v_1, \dots, v_m$ obteniendo una nueva base. En particular, $m \le n$.
Se trata de introducir uno por uno los $v_1, \dots, v_m$ en sustitución de vectores de la base dada.
1. Introducción de $v_1$: Por ser $u_1, \dots, u_n$ una base, tendremos $v_1 = \sum_{i=1}^n a_i u_i$. Como $v_1$ no es nulo (es parte de un sistema libre), uno de los coeficientes $a_i$ no es nulo. Podemos suponer, reordenando en caso necesario la base, que $a_1 \ne 0$. Entonces:
$$u_1 = (a_1)^{-1}v_1 - \sum_{i=2}^n (a_1)^{-1}a_i u_i$$Esta expresión nos dice que $\langle u_1, \dots, u_n \rangle = \langle v_1, u_2, \dots, u_n \rangle$. Además, $\{v_1, u_2, \dots, u_n\}$ son linealmente independientes. En efecto:
$$b_1 v_1 + b_2 u_2 + \dots + b_n u_n = \overline{O} \Rightarrow b_1\left(\sum_{i=1}^n a_i u_i\right) + b_2 u_2 + \dots + b_n u_n = \overline{O}$$ $$b_1 a_1 u_1 + \sum_{i=2}^n (b_1 a_i + b_i)u_i = \overline{O}$$Ya que $u_1, \dots, u_n$ es una base, $b_1 a_1 = 0$ y $b_1 a_i + b_i = 0$ para $i \ge 2$. Pero $a_1 \ne 0$, por tanto $b_1 = 0$ y, consecuentemente, $b_i = 0$ ($i = 2, \dots, n$). Así pues, $v_1, u_2, \dots, u_n$ forman una base de $V$.
2. Paso inductivo: Supongamos que ya hemos sustituido $h$ vectores de la base por los vectores $v_1, \dots, v_h$. Reordenando si es necesario, podemos suponer que $\{v_1, \dots, v_h, u_{h+1}, \dots, u_n\}$ es una base de $V$. Procedamos igual que en (1) y expresemos $v_{h+1}$ como combinación lineal de los vectores de esta base:
$$v_{h+1} = \sum_{i=1}^h a_i v_i + \sum_{i=h+1}^n a_i u_i$$El paso (1) nos asegura que podemos sustituir por $v_{h+1}$ cualquier vector que, en esta expresión, tenga coeficiente no nulo. Todo queda reducido a comprobar que uno de los coeficientes del segundo sumatorio no es nulo. Ahora bien, si $a_{h+1} = \dots = a_n = 0$, entonces $v_{h+1}$ sería combinación lineal de $v_1, \dots, v_h$ y esto no es cierto, ya que los vectores $\{v_1, \dots, v_m\}$ son linealmente independientes.
Por tanto, el proceso puede continuarse hasta introducir los $m$ vectores. Esto exige trivialmente que $m \le n$.
El siguiente resultado, es de suma importancia, para clasificar los espacios vectoriales según sus bases.
Si el espacio vectorial $V$ tiene una base finita, todas las bases de $V$ tienen el mismo número de vectores.
Sean $B = \{u_1, \dots, u_n\}$ y $B' = \{v_j \mid j \in J\}$ dos bases de $V$.
El Teorema de Steinitz nos dice que toda subfamilia finita linealmente independiente $v_{j_1}, \dots, v_{j_k}$ de $B'$ satisface $k \le n$. Por tanto, $J$ no puede contener infinitos elementos, ha de ser finito.
Entonces, si $J$ tiene $m$ elementos, aplicando Steinitz (introduciendo $B'$ en $B$) obtenemos que $m \le n$. Invirtiendo los papeles de las bases (introduciendo $B$ en $B'$), obtenemos que $n \le m$. Por tanto $m = n$.
Tras estos resultados, podemos asegurar que dada una base $B$ con $n$ vectores, cualquier otra base tendrá $n$ vectores. Esto nos lleva a la siguiente definición.
Dado un espacio vectorial $V$, diremos que es de dimensión finita si tiene una base finita de vectores. Si dicha base tiene $n$ vectores, diremos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$, denotándolo por $\text{dim} V = n$.
En caso de que $V$ no posea una base finita de vectores, diremos que es de dimensión infinita.
Sabemos que el espacio vectorial $\mathbb{K}^n$ es de dimensión $n$, mientras que $\mathbb{K}[x]$ es de dimensión infinita.
Existe un resultado equivalente al anterior en el caso infinito, que no vamos a demostrar y que es el siguiente.
Sean $B$ y $B'$ dos bases de un espacio vectorial $V$ de dimensión infinita. Se cumple $\text{Card}(B) = \text{Card}(B')$, es decir, el cardinal de ambos conjuntos coincide.
El siguiente apartado lo vamos a dedicar al estudio de las aplicaciones entre espacios vectoriales. Unas aplicaciones un tanto peculiares, serán aplicaciones que conserven la estructura de espacio vectorial.
6 Aplicaciones Lineales
En apartados anteriores nos hemos ocupado de la estructura de espacio vectorial. En este apartado, estudiaremos aplicaciones entre dichos espacios, las aplicaciones lineales. Resulta lógico pensar que las aplicaciones interesantes entre espacios vectoriales son aquellas que respetan la estructura de espacio vectorial. Un espacio vectorial es un conjunto con dos operaciones; una aplicación entre los conjuntos que conserva las dos operaciones es una aplicación que respeta la estructura vectorial.
Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$. Una aplicación $f: E \longrightarrow F$ se llama una aplicación lineal si para todo par de vectores $u, v \in E$ y todo $a \in \mathbb{K}$, se cumple:
- $f(u + v) = f(u) + f(v)$
- $f(au) = af(u)$
Si $f$ es lineal, se cumplen las propiedades:
- L1: $f(au + bv) = af(u) + bf(v)$ y en general $$f\left(\sum_{i=1}^{m} a_i u_i\right) = \sum_{i=1}^{m} a_i f(u_i)$$
- L2: $f(\overline{O}) = \overline{O}$ ya que de $\overline{O} = 0u$ se deduce que $f(\overline{O}) = 0f(u) = \overline{O}$
- L3: $f(-u) = -f(u)$, ya que $f(u) + f(-u) = f(u + (-u)) = f(\overline{O}) = \overline{O}$
- Un ejemplo de aplicación lineal, es la aplicación que hace corresponder a cada vector las coordenadas del mismo puestas en una base prefijada. Es decir, si $E$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $u_1, \dots u_n$ es una base de $E$, la aplicación $$E \longrightarrow \mathbb{K}^n$$ que hace corresponder a cada vector sus coordenadas en la base dada es lineal.
- Sea $F$ un subespacio del espacio vectorial $E$. La aplicación proyección al cociente: $$E \longrightarrow E/F \\ u \longmapsto [u]$$ que hace corresponder a cada vector de $E$ su clase, es lineal.
Sea $f: E \longrightarrow F$ una aplicación lineal.
- D1: Denominaremos núcleo de $f$ al subespacio vectorial de $E$:
$$\text{Ker}f = \{u \in E \mid f(u) = \overline{O}\}$$ - D2: Denominaremos imagen de $f$ al subespacio vectorial de $F$:
$$\text{Im}f = \{v \in F \mid \exists u \in E \text{ tal que } v = f(u)\}$$
Para el Núcleo ($\text{Ker}f$):
Sean $u_1, u_2 \in \text{Ker}f$, veamos que $\lambda u_1 + \mu u_2 \in \text{Ker}f$. Aplicamos la función y usamos la linealidad:
$$f(\lambda u_1 + \mu u_2) = \lambda f(u_1) + \mu f(u_2) = \lambda \overline{O} + \mu \overline{O} = \overline{O} + \overline{O} = \overline{O}$$Por lo tanto, la combinación lineal pertenece al núcleo.
Para la Imagen ($\text{Im}f$):
Sean $v_1, v_2 \in \text{Im}f$. Por definición, existen $u_1, u_2 \in E$ tales que $f(u_1) = v_1$ y $f(u_2) = v_2$. Evaluamos una combinación lineal en la imagen:
$$\lambda v_1 + \mu v_2 = \lambda f(u_1) + \mu f(u_2)$$Por la linealidad de $f$, podemos reescribir esto como:
$$f(\lambda u_1 + \mu u_2)$$Dado que $E$ es subespacio (es un espacio vectorial), $\lambda u_1 + \mu u_2 \in E$. Por lo tanto, existe un elemento en $E$ cuya imagen es $\lambda v_1 + \mu v_2$, probando que pertenece a $\text{Im}f$.
Recordemos que una aplicación $f: E \longrightarrow F$ es inyectiva, si $f(u) = f(v)$ implica que $u = v$. Y una aplicación es exhaustiva, si para cada $v \in F$ existe un $u \in E$ tal que $f(u) = v$.
Una aplicación $f: E \longrightarrow F$ lineal es inyectiva si, y sólo si $\text{Ker}f = \{\overline{O}\}$. Y la aplicación $f$ es exhaustiva si, y sólo si $\text{Im}f = F$.
La segunda afirmación (exhaustividad $\iff \text{Im}f = F$) no es más que la propia definición matemática de aplicación exhaustiva.
Para la primera afirmación (Inyectiva $\iff \text{Ker}f = \{\overline{O}\}$):
$(\Rightarrow)$ Supongamos que $f$ es inyectiva. Sea $u \in \text{Ker}f$. Entonces $f(u) = \overline{O}$. Pero sabemos por las propiedades L que $f(\overline{O}) = \overline{O}$. Por lo tanto, $f(u) = f(\overline{O})$. Por ser $f$ inyectiva, esto implica necesariamente que $u = \overline{O}$. Así, $\text{Ker}f = \{\overline{O}\}$.
$(\Leftarrow)$ Supongamos que $\text{Ker}f = \{\overline{O}\}$. Si tomamos dos vectores tal que $f(u) = f(v)$, entonces: $$f(u) - f(v) = \overline{O} \Rightarrow f(u - v) = \overline{O}$$ Esto significa que $u - v \in \text{Ker}f$. Dado que el núcleo solo contiene al vector nulo, deducimos: $$u - v = \overline{O} \Rightarrow u = v$$ Lo cual demuestra que $f$ es inyectiva.
Una aplicación $f: E \longrightarrow F$ lineal, diremos que es un isomorfismo si es a la vez inyectiva y exhaustiva. En tal caso, diremos que $E$ y $F$ son isomorfos, denotándolo por $E \cong F$.
Como ejemplo, podemos decir que, si $E$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial de dimensión $n$, entonces $E \cong \mathbb{K}^n$. Nos vale con la aplicación dada en el primer ejemplo de aplicaciones lineales.
Pasemos a demostrar los teoremas de isomorfía, útiles para el estudio de la estructura de espacio vectorial.
Considera la aplicación $f(x,y) = (\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2})$. Al no ser inyectiva (colapsa el plano sobre una recta), tiene un Núcleo no trivial (recta roja) y una Imagen (recta azul). Arrastra el punto origen $u$ (negro) y observa cómo su imagen $f(u)$ (morado) siempre cae en el espacio azul. Si sitúas $u$ sobre el eje rojo, $f(u)$ colapsa al origen.
6.1 Teoremas de Isomorfía
Si $f: E \longrightarrow F$ es lineal, entonces:
$$E/\text{Ker}f \cong \text{Im}f$$La aplicación $f$ envía todos los elementos de una clase $u + \text{Ker}f$ al mismo vector de $F$; en efecto, si $w \in \text{Ker}f$, $f(w) = \overline{O}$ y:
$$f(u + w) = f(u) + f(w) = f(u) + \overline{O} = f(u)$$Esto nos permite definir una aplicación:
$$\varphi: E/\text{Ker}f \longrightarrow \text{Im}f \\ [u] \longmapsto f(u)$$Veamos sus propiedades:
- Lineal: Herencia directa de $f$.
- Inyectiva: Si $\varphi([u]) = \overline{O}_F$, eso significa que $f(u) = \overline{O}_F$, con lo cual $u \in \text{Ker}f$. Así que la clase $[u] = [\overline{O}_E]$ (el elemento neutro del cociente). Como el núcleo de $\varphi$ es trivial, $\varphi$ es inyectiva.
- Exhaustiva: Es obvio por definición. Para cada $v \in \text{Im}f$, existe al menos un $u \in E$ tal que $f(u) = v$. Podemos tomar la clase $[u] \in E/\text{Ker}f$ de manera que $\varphi([u]) = f(u) = v$.
Al ser lineal, inyectiva y exhaustiva, $\varphi$ es un isomorfismo. Por tanto, $E/\text{Ker}f \cong \text{Im}f$.
En la proyección $f(x,y)$ anterior, el espacio cociente $E/\text{Ker}f$ está formado por "clases", que geométricamente son líneas paralelas al núcleo. El Teorema afirma que cada línea completa colapsa en un único punto de la Imagen. Mueve el deslizador para generar diferentes clases y ver su colapso isomórfico en vivo.
Si $F$ y $G$ son subespacios vectoriales de $E$, se cumple:
$$(F + G)/F \cong G/(F \cap G)$$Consideramos la aplicación natural de inclusión seguida de la proyección al cociente:
$$f: G \longrightarrow (F + G)/F \\ v \longmapsto [v]_F$$Esta aplicación $f$ es lineal.
1. ¿Cuál es su núcleo? Su núcleo está formado por aquellos vectores $v \in G$ tales que $f(v) = [v]_F = [\overline{O}]_F = F$. Esto ocurre si y sólo si $v \in F$. Por tanto, como $v$ debía estar en $G$ inicialmente, se tiene que $\text{Ker}f = F \cap G$.
2. ¿Es exhaustiva? Dada una clase cualquiera $[u]_F \in (F + G)/F$, por pertenecer al espacio suma, podemos escribir su representante como $u = w + v$ con $w \in F$ y $v \in G$. Entonces: $$[u]_F = [w + v]_F = [w]_F + [v]_F = \overline{O}_{cociente} + [v]_F = [v]_F = f(v)$$ Por tanto, $f$ es exhaustiva y su imagen es todo $(F + G)/F$.
Conclusión: Aplicando el Primer Teorema de Isomorfía a esta aplicación $f$: $$G/\text{Ker}f \cong \text{Im}f \Rightarrow G/(F \cap G) \cong (F + G)/F$$
Si $F \subset G$ son dos subespacios vectoriales de $E$, entonces ("regla de la cancelación"):
$$(E/F)/(G/F) \cong (E/G)$$Basta con actuar como en el Segundo Teorema de Isomorfía, es decir, encontrar una aplicación:
$$f: E/F \longrightarrow E/G$$cuyo núcleo sea $G/F$. Sea pues $f([u]_F) = [u]_G$ donde por $[u]_F$ denotamos la clase módulo $F$, y por $[u]_G$ la clase módulo $G$.
1. Bien definida: Esta aplicación está bien definida, ya que elementos equivalentes respecto a $F$ también son equivalentes respecto a $G$ (porque $F \subset G$, luego $u - v \in F \Rightarrow u - v \in G$).
2. Lineal y Exhaustiva: Las propiedades de linealidad se heredan del espacio original. La exhaustividad es trivial, pues todo representante $u \in E$ está en alguna clase módulo $F$.
3. Núcleo: Su núcleo está formado por las clases $[u]_F$ tales que $f([u]_F) = [\overline{O}]_G$. Es decir, tales que $[u]_G = [\overline{O}]_G \iff u \in G$. El conjunto de clases $[u]_F$ formadas por elementos $u \in G$ es precisamente $G/F$. Así pues, $\text{Ker}f = G/F$.
Conclusión: Aplicando de nuevo el Primer Teorema de Isomorfía: $$(E/F) / \text{Ker}f \cong \text{Im}f \Rightarrow (E/F)/(G/F) \cong E/G$$
7 Conclusión
Este es un tema que podría extenderse mucho más de lo que podemos, de ahí que hayamos tenido que seleccionar sólo unos cuantos resultados de los que en realidad hay. Hemos estudiado la estructura de espacio vectorial y, a partir de la definición, hemos enunciado algunas propiedades, de las que algunas hemos dado la demostración. A partir de la definición de espacio vectorial, hemos dado la de subespacio vectorial. A partir de las combinaciones lineales, se han podido construir subespacios vectoriales interesantes, como aquellos que nos han llevado a la idea de base. Para acabar, hemos estudiado las aplicaciones que respetan las operaciones en un espacio vectorial, es decir, las aplicaciones lineales, terminando con tres de los más famosos resultados que hay en Álgebra Lineal, los teoremas de isomorfía.