Tema 1: Los números naturales.
Sistemas de numeración.
Tema 1. Los números naturales © 2026
por José Antonio Martínez Martínez se distribuye bajo
Licencia Internacional CC BY-NC-ND 4.0
Introducción
El concepto de número natural constituye la base sobre la que se edifica la aritmética y, por extensión, gran parte de la estructura matemática. Su desarrollo no fue inmediato, sino el fruto de un lento proceso de abstracción que se estima abarcó desde el 25.000 hasta el 6.000 a.C. Antropológicamente, la noción de número surge de la necesidad de contar y ordenar, presentando una doble vertiente que es crucial para su comprensión: el aspecto cardinal, basado en el principio de correspondencia biunívoca para distinguir cantidades (uno, dos, muchos), y el aspecto ordinal, que introduce la noción de sucesión y orden, esencial para el desarrollo del cálculo.
Históricamente, la representación de estas cantidades evolucionó desde el uso de partes del cuerpo (origen de los sistemas quinarios y decimales) y muescas en huesos, hasta la creación de sistemas de numeración complejos. Sin embargo, la formalización rigurosa de $\mathbb{N}$ no llegaría hasta finales del siglo XIX, motivada por la crisis de los fundamentos de la matemática. En este contexto, matemáticos como Cantor, Frege y Dedekind intentaron fundamentar la aritmética en la teoría de conjuntos (vía cardinal), mientras que Giuseppe Peano optó por una vía axiomática, definiendo los naturales mediante reglas precisas que evitaban las ambigüedades y paradojas lógicas de la época.
En el presente tema abordaremos la construcción formal del conjunto $\mathbb{N}$ siguiendo la axiomática de Peano, dotándolo de estructura de semianillo totalmente ordenado mediante la definición recurrente de sus operaciones. Posteriormente, analizaremos la evolución de los sistemas de numeración, culminando con la demostración del Teorema Fundamental de la Numeración, pilar del sistema posicional decimal que utilizamos actualmente.
Construcción axiomática de Peano
Giuseppe Peano (1858-1932) estableció un sistema axiomático para definir $\mathbb{N}$ evitando las dificultades de la teoría de conjuntos.
2.1. Definición y axiomas
Se define el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ como un conjunto no vacío que cumple los siguientes axiomas fundamentales:
- Axioma I. Existe un elemento distinguido perteneciente a $\mathbb{N}$. Dependiendo de la fuente, este elemento se denota como $1$ o $0$. Asumiremos el $0$ como primer elemento para la construcción general.
- Axioma II (Del siguiente). A cada número natural $n\in\mathbb{N}$ le corresponde un único número natural siguiente, denotado como $sg(n)$, $n^{+}$ o $n^{\prime}$. La aplicación $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es una aplicación inyectiva.
- Axioma III. El elemento inicial ($0$) no es el siguiente de ningún número natural. ($\forall n\in\mathbb{N}, n^{+}\ne0$).
- Axioma IV (Inyectividad). Si dos números tienen el mismo siguiente, entonces son el mismo número. ($n^{+}=m^{+}\Rightarrow n=m$).
- Axioma V (Inducción completa). Si un subconjunto $K\subseteq\mathbb{N}$ contiene al elemento inicial ($0$) y cumple que si $n\in K\Rightarrow n^{+}\in K$ entonces $K=\mathbb{N}$.
2.2. Teoremas básicos derivados
Del sistema de Peano se deducen propiedades fundamentales sobre la naturaleza de los elementos de $\mathbb{N}$.
Todo elemento de $\mathbb{N}$ es distinto de su siguiente, es decir, $\forall n\in\mathbb{N}$, $n\ne n^{+}$.
Demostración del teorema 2.1 (No existencia de puntos fijos):
Consideremos el conjunto $U=\{x\in\mathbb{N} \mid x\ne x^{+}\}$.
- Para el elemento inicial 0: Por el Axioma III, 0 no es siguiente de nadie, luego $0\ne0^{+}$ (pues si $0=0^{+}$, 0 sería siguiente de 0). Por tanto, $0\in U$.
- Supongamos que $h\in U$, es decir, $h\ne h^{+}$. Por el Axioma IV (inyectividad de la aplicación siguiente), si los antecedentes son distintos, las imágenes también lo son. Por tanto, $h\ne h^{+}\Rightarrow h^{+}\ne(h^{+})^{+}$. Esto implica que $h^{+}\in U$.
Aplicando el Axioma V (Inducción), concluimos que $U=\mathbb{N}$. $\blacksquare$
Todo elemento de $\mathbb{N}$, salvo el 0, es el siguiente de algún número natural. Es decir, $\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $m^{+}=n$.
Demostración del teorema 2.2 (Existencia del predecesor):
Construimos el conjunto $K=\{0\}\cup\{x\in\mathbb{N} \mid \exists y\in\mathbb{N}, y^{+}=x\}$.
- Evidentemente $0\in K$ por definición.
- Sea $h\in K$. Queremos ver si $h^{+}\in K$. El elemento $h^{+}$ es, por definición, el siguiente de $h$, luego existe un número (el propio $h$) tal que su siguiente es $h^{+}$. Por tanto, $h^{+}\in K$.
Por el Axioma de Inducción, $K=\mathbb{N}$. $\blacksquare$
2.3. Equivalencias del principio de inducción
El Axioma V admite formulaciones equivalentes fundamentales para la aritmética:
Las siguientes proposiciones son equivalentes:
- Principio de inducción matemática (PIM): Si $S\subseteq\mathbb{N}$, $0\in S$ y $(n\in S\Rightarrow n^{+}\in S)$, entonces $S=\mathbb{N}$.
- Principio de inducción fuerte: El conjunto $S=\mathbb{N}$ es el único subconjunto de $\mathbb{N}$ con la propiedad: Para cada $n\in\mathbb{N}$, si todo número natural menor que $n$ está en $S$, entonces $n\in S$.
- Principio del buen orden: Todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene un elemento mínimo (primer elemento).
Demostración del teorema 2.3 (Equivalencia PIM - Buen Orden):
(Esquema PIM $\to$ Buen Orden): Sea $S\subseteq\mathbb{N}$ no vacío. Supongamos que $S$ no tiene mínimo. Consideremos el conjunto $T=\{n\in\mathbb{N} \mid \forall m\le n, m\notin S\}$ (el conjunto de los números menores estrictos que cualquier elemento de $S$).
- $0\in T$ pues si $0\in S$, al ser el menor natural, sería el mínimo de $S$, contradiciendo la hipótesis.
- Si $n\in T$, entonces $0,...,n\notin S$. Si $n^{+}\in S$, como no hay elementos en $S$ menores que $n^{+}$, $n^{+}$ sería el mínimo. Como $S$ no tiene mínimo, $n^{+}\notin S$. Así, todos los naturales hasta $n^{+}$ están fuera de $S$, luego $n^{+}\in T$.
Por inducción, $T=\mathbb{N}$. Esto implica que $S$ no tiene elementos ($S=\emptyset$), lo que contradice la hipótesis de que $S$ es no vacío. $\blacksquare$
Operaciones en $\mathbb{N}$
3.1. Suma o adición
Se define la aplicación $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que:
- $x+0=x$
- $x+sg(y)=sg(x+y)$
- Asociativa: $(m+n)+p=m+(n+p)$.
- Conmutativa: $m+n=n+m$.
- Elemento neutro: El 0 es neutro para la suma.
- Ley cancelativa: Si $m+p=n+p\Rightarrow m=n$.
Para cualesquiera $m, n, p\in\mathbb{N},$ si $m+p=n+p$ entonces $m=n$.
Demostración del teorema 3.1 (Ley cancelativa de la suma):
Razonamos por inducción sobre $p$.
- Base: Si $p=0$, $m+0=n+0\Rightarrow m=n$ (por ser 0 elemento neutro).
- Paso inductivo: Supongamos cierto para $p$ (Hipótesis: $m+p=n+p\Rightarrow m=n$). Veamos para $p^{+}$: Si $m+p^{+}=n+p^{+}$, por definición de suma, $(m+p)^{+}=(n+p)^{+}.$ Aplicando el Axioma IV (inyectividad del siguiente), deducimos que $m+p=n+p.$ Aplicando la hipótesis de inducción, concluimos $m=n$.
Luego la propiedad es cierta para todo $p\in\mathbb{N}$. $\blacksquare$
3.2. Producto
Se define $\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que:
- $x\cdot0=0$
- $x\cdot y^{+}=x\cdot y+x$
- Elemento absorbente: El 0 es el elemento absorbente: $\forall x\in\mathbb{N}, x\cdot0 = 0\cdot x = 0$.
- Elemento neutro: El 1 (definido como $0^+$) es el elemento neutro: $\forall x\in\mathbb{N}, x\cdot1 = 1\cdot x = x$.
- Propiedad distributiva: El producto es distributivo respecto de la suma: $x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z$.
- Propiedad asociativa: $(m\cdot n)\cdot p = m\cdot(n\cdot p)$.
- Propiedad conmutativa: $m\cdot n = n\cdot m$.
- Integridad (Sin divisores de cero): $a\cdot b = 0 \iff a=0 \lor b=0$.
- Ley cancelativa del producto: Si $p\ne0$ y $m\cdot p = n\cdot p \Rightarrow m=n$.
Estructura fundamental: $(\mathbb{N},+,\cdot)$ es un semianillo conmutativo unitario y de cancelación.
Para cualesquiera $m, n, p \in \mathbb{N}$, se verifica:
Demostración del teorema 3.2 (Distributividad):
Procedemos por inducción sobre $p$:
- Base de la inducción ($p=0$): $$m \cdot (n + 0) = m \cdot n$$ Por otro lado, aplicando la definición de producto por cero y el neutro de la suma: $$m \cdot n + m \cdot 0 = m \cdot n + 0 = m \cdot n$$ Por lo tanto, la igualdad es cierta para $p=0$.
- Paso inductivo: Supongamos cierta la propiedad para $p$ (Hipótesis de Inducción: $m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p$). Probemos para $p^+$: $$m \cdot (n + p^+) = m \cdot (n + p)^+ = m \cdot (n + p) + m$$ Aplicando la hipótesis de inducción: $$(m \cdot n + m \cdot p) + m = m \cdot n + (m \cdot p + m) = m \cdot n + m \cdot p^+$$
Por el principio de inducción, la propiedad distributiva se cumple para todo $p \in \mathbb{N}$. $\blacksquare$
Para cualesquiera $m, n, p \in \mathbb{N}$, se cumple:
Demostración del teorema 3.3 (Asociatividad):
Fijamos $m, n \in \mathbb{N}$ e inducimos sobre $p$:
- Base ($p=0$): $$(m \cdot n) \cdot 0 = 0 \quad \text{y} \quad m \cdot (n \cdot 0) = m \cdot 0 = 0$$
- Paso inductivo: Supongamos que $(m \cdot n) \cdot p = m \cdot (n \cdot p)$. Para $p^+$: $$(m \cdot n) \cdot p^+ = (m \cdot n) \cdot p + m \cdot n$$ Por otro lado: $$m \cdot (n \cdot p^+) = m \cdot (n \cdot p + n)$$ Aplicando la propiedad distributiva (Teorema 3.2): $$m \cdot (n \cdot p + n) = m \cdot (n \cdot p) + m \cdot n$$ Sustituyendo la hipótesis de inducción, obtenemos $(m \cdot n) \cdot p + m \cdot n$, coincidiendo ambos miembros.
Concluimos por inducción que el producto es asociativo en $\mathbb{N}$. $\blacksquare$
Para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$, se satisface:
Demostración del teorema 3.4 (Conmutatividad):
Para la demostración necesitamos previamente dos lemas auxiliares:
- Lema 1 ($0 \cdot m = 0, \forall m \in \mathbb{N}$): Inducción sobre $m$. Para $m=0$, $0 \cdot 0 = 0$. Si $0 \cdot m = 0$, entonces $0 \cdot m^+ = 0 \cdot m + 0 = 0 + 0 = 0$.
- Lema 2 ($m^+ \cdot n = m \cdot n + n, \forall m, n \in \mathbb{N}$): Inducción sobre $n$. Para $n=0$, $m^+ \cdot 0 = 0 = m \cdot 0 + 0$. Asumiendo cierto para $n$: $$m^+ \cdot n^+ = m^+ \cdot n + m^+ = (m \cdot n + n) + m^+ = m \cdot n + (n + m^+) = m \cdot n + (m + n)^+ = m \cdot n + (m + n^+) = m \cdot n + (n^+ + m) = (m \cdot n + n^+) + m = m \cdot n^+ + m$$
Demostración principal (Inducción sobre $n$):
- Base ($n=0$): $m \cdot 0 = 0$ y, por Lema 1, $0 \cdot m = 0$.
- Paso inductivo: Supongamos $m \cdot n = n \cdot m$. Para $n^+$: $$m \cdot n^+ = m \cdot n + m = n \cdot m + m \quad (\text{por Hipótesis de Inducción})$$ Por el Lema 2, tenemos directamente que $n^+ \cdot m = n \cdot m + m$. Por consiguiente, $m \cdot n^+ = n^+ \cdot m$.
Así queda demostrada la conmutatividad del producto. $\blacksquare$
En el conjunto de los números naturales se cumplen:
- Integridad: $\forall a, b \in \mathbb{N}, a \cdot b = 0 \iff a = 0 \lor b = 0$.
- Ley cancelativa: Si $p \ne 0$ y $m \cdot p = n \cdot p \Rightarrow m = n$.
Demostración del teorema 3.5 (Integridad y Cancelación):
1. Demostración de Integridad:
- $(\Leftarrow)$ Si $a=0$ o $b=0$, por definición de producto o por el Lema 1, $a \cdot b = 0$.
- $(\Rightarrow)$ Supongamos $a \cdot b = 0$ y $a \ne 0$. Por el Teorema 2.2, al ser $a \ne 0$, existe $x \in \mathbb{N}$ tal que $a = x^+$. Si fuera $b \ne 0$, existiría $y \in \mathbb{N}$ con $b = y^+$. Entonces: $$a \cdot b = x^+ \cdot y^+ = x^+ \cdot y + x^+ = (x^+ \cdot y + x)^+$$ Esto implicaría que $a \cdot b$ es el siguiente de algún elemento, luego por el Axioma III de Peano, $a \cdot b \ne 0$, lo cual es una contradicción. Forzosamente $b = 0$.
2. Demostración de la Ley Cancelativa:
Razonamos por reducción al absurdo usando la Ley de Tricotomía (Teorema 4.1):
Supongamos que $m \ne n$. Entonces se da uno de los siguientes casos:
- Si $m < n$, existe $x \in \mathbb{N}$ con $x \ne 0$ tal que $m + x = n$. Multiplicando por $p$: $$(m + x) \cdot p = n \cdot p \Rightarrow m \cdot p + x \cdot p = n \cdot p$$ Como $x \ne 0$ y $p \ne 0$, por el apartado de integridad $x \cdot p \ne 0$. Esto significa que $m \cdot p < n \cdot p$, lo que contradice la hipótesis de que $m \cdot p = n \cdot p$.
- Si $n < m$, se llega de forma análoga a $n \cdot p < m \cdot p$, contradiciendo nuevamente la igualdad.
Por tanto, debe ser obligatoriamente $m = n$. $\blacksquare$
Relación de orden en $\mathbb{N}$
Dados $a, b \in \mathbb{N}$, decimos que $a$ es menor o igual que $b$ (denotado $a \le b$) si y solo si existe $c \in \mathbb{N}$ tal que:
Diremos que $a < b$ (orden estricto) si $a \le b$ y $a \ne b$, lo cual equivale a que exista $c \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ tal que $a + c = b$.
- Reflexiva: $\forall a \in \mathbb{N}, a \le a$ (tomando $c = 0$).
- Antisimétrica: Si $a \le b$ y $b \le a \Rightarrow a = b$.
- Transitiva: Si $a \le b$ y $b \le d \Rightarrow a \le d$.
- Compatibilidad con la suma: $a \le b \iff a + c \le b + c, \quad \forall c \in \mathbb{N}$.
- Compatibilidad con el producto: Si $c > 0$, entonces $a \le b \iff a \cdot c \le b \cdot c$.
Para cualesquiera dos números naturales $a, b \in \mathbb{N}$, se verifica una y solo una de las siguientes relaciones:
Por consiguiente, $(\mathbb{N}, \le)$ es un conjunto totalmente ordenado.
Demostración del teorema 4.1 (Ley de Tricotomía):
Fijado $a \in \mathbb{N}$, realizamos la inducción sobre $b$:
- Base ($b = 0$): Si $a = 0$, entonces $a = b$. Si $a \ne 0$, por el Teorema 2.2 existe $x \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $0 + a = a$, lo que implica $b < a$.
- Paso inductivo: Supongamos que se cumple la tricotomía para $a$ y $b$. Al pasar a $b^+$:
- Si $a < b$, entonces $a + c = b$ con $c \ne 0$. Por tanto, $a + c^+ = b^+$, luego $a < b^+$.
- Si $a = b$, entonces $a^+ = b^+$, luego $a < b^+$ (pues $a + 1 = b^+$).
- Si $a > b$, existe $c \ne 0$ tal que $b + c = a$. Si $c = 1$, entonces $b^+ = a$. Si $c > 1$, existe $k \ne 0$ tal que $b^+ + k = a$, luego $b^+ < a$.
La exclusión mutua se deduce de la ley cancelativa de la suma y del hecho de que $0$ no es el siguiente de ningún elemento. $\blacksquare$
Construcción de $\mathbb{N}$ basada en la teoría de conjuntos
Para elevar la rigurosidad matemática del tema, es vital mencionar cómo John von Neumann construyó los números naturales utilizando exclusivamente el conjunto vacío ($\emptyset$) y la operación de unión de conjuntos, encarnando el enfoque puramente lógico-conjuntista.
Se define recursivamente cada natural como el conjunto que contiene a todos los naturales anteriores:
- $0 := \emptyset$
- $1 := 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\}$
- $2 := 1 \cup \{1\} = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
- En general, la función sucesor se define como: $n^+ := n \cup \{n\}$
Esta construcción garantiza que la relación de orden estricto ($<$) coincide exactamente con la relación de pertenencia ($\in$), es decir, $m < n \iff m \in n$, y que el cardinal de cada número natural $n$ es exactamente $n$, uniendo el mundo axiomático con el conjuntista.
5.1. Cardinalidad y teorema de Cantor-Bernstein
Dos conjuntos $A$ y $B$ son equipotentes ($A\sim B$) si existe una biyección entre ellos. El cardinal de un conjunto finito se identifica con un número natural.
Dados dos cardinales $x=Card(X)$ e $y=Card(Y)$:
Demostración del teorema 5.1 (Cantor-Bernstein):
Si $x\le y$, existe una inyección $f:X\rightarrow Y$. Si $y\le x$, existe una inyección $g:Y\rightarrow X$. Entonces $Card(Y)=Card(g(Y))$ y $g(Y)\subseteq X$. Consideramos $Z=g(Y)$. Como $f$ es inyectiva, $Card(X)=Card(f(X))$. Se construye una biyección $h$ entre $X$ e $Y$ mediante particiones iterativas de los conjuntos formados por las imágenes sucesivas de las inyecciones (cadenas de correspondencia), demostrando que si cada uno puede ser inyectado en el otro, ambos conjuntos tienen la misma potencia exacta. $\blacksquare$
5.2. Conjuntos finitos e infinitos
Un conjunto $A$ es finito si no es equipotente a ninguna de sus partes propias (Definición de Dedekind).
Un conjunto $A$ es infinito si y solo si $Card(A)=Card(A)+1$.
Demostración de la proposición 5.1:
- $(\Rightarrow)$ Si $A$ es infinito, existe $B\subset A, B\ne A$ tal que $A\sim B$. Sea $a\in A\setminus B$. Entonces $Card(B\cup\{a\})=Card(B)+1=Card(A)+1.$ Como $B\cup\{a\}\subseteq A$ tenemos $Card(A)+1\le Card(A)$. Como obviamente $Card(A)\le Card(A)+1$, por Cantor-Bernstein se da la igualdad.
- $(\Leftarrow)$ Si $n=n+1$, tomando un elemento $t\notin A$, existe biyección entre $A\cup\{t\}$ y $A.$ Restringiendo la biyección a $A$, deducimos que $A$ es equipotente a una de sus partes propias, luego es infinito por definición. $\blacksquare$
Sistemas de numeración y divisibilidad
6.1. División de números naturales
Para justificar la representación de números en una base, primero necesitamos el algoritmo de la división.
Dados dos números naturales $m$ y $n$ con $n\ge1$ (si consideramos $0\in\mathbb{N}, n\ne0)$, existen unos únicos números naturales $q$ (cociente) y $r$ (resto) tales que:
Demostración del teorema 6.1 (División euclídea):
Existencia: Consideremos el conjunto $M_{n}=\{m\in\mathbb{N} \mid \exists q,r\in\mathbb{N}, r < n, m=nq+r\}$. Probaremos que $M_{n}=\mathbb{N}$ por inducción sobre $m$.
- Para $m=0$: $0=n\cdot0+0$. Como $0 < n$ (pues $n\ge1$), se cumple tomando $q=0$, $r=0$.
- Supongamos $m\in M_{n}$ es decir, $m=nq+r$ con $r < n$. Analicemos $m+1$:
$$m+1=nq+r+1=nq+(r+1)$$
- Caso 1: Si $r+1 < n$, tomamos $q^{\prime}=q$ y $r^{\prime}=r+1$. Entonces $m+1=nq^{\prime}+r^{\prime}$ con $r^{\prime} < n$.
- Caso 2: Si $r+1=n$, entonces $m+1=nq+n=n(q+1)+0$. Tomamos $q^{\prime}=q+1$ y $r^{\prime}=0$. Como $0 < n$, se cumple.
En ambos casos $m+1\in M_{n}$. Por inducción, todo número admite esta descomposición.
Unicidad: Supongamos dos representaciones: $m=nq_{1}+r_{1}=nq_{2}+r_{2}$ con $r_{1}, r_{2} < n$. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $r_{1} < r_{2}$. Esto implica que $q_{2} < q_{1}$. Entonces $q_{2}+1\le q_{1}$ luego $n(q_{2}+1)\le nq_{1}$. Operando: $nq_{2}+n\le nq_{1}$. Sumamos $r_{1}$ a la derecha: $nq_{2}+n+r_{1}\le nq_{1}+r_{1}$. Como $nq_{1}+r_{1}=nq_{2}+r_{2}$, tenemos: $nq_{2}+n\le nq_{2}+r_{2}\Rightarrow n\le r_{2}$. Esto contradice la hipótesis de que el resto $r_{2}$ debe ser estrictamente menor que el divisor $n$. Por tanto, debe ser $r_{1}=r_{2}$, lo que implica $nq_{1}=nq_{2}$, y por la ley cancelativa del producto $(n\ne0)$, $q_{1}=q_{2}$. $\blacksquare$
La esencia de la división euclídea ($m = n \cdot q + r$) se percibe claramente como el acto de agrupar $m$ unidades en grupos exactos de $n$ elementos, sobrando un resto $r$ menor que $n$.
Modelo geométrico: $m = n \cdot q + r$
23 = 5 · 4 + 3
6.2. Teorema fundamental de la numeración
Los sistemas de numeración posicionales se basan en este teorema, que permite representar cualquier número en una base $b>1$.
Sea $b\in\mathbb{N}$, $b>1$ (la base). Todo número natural $m$ se puede expresar de forma única como:
Donde los coeficientes $a_{i}\in\mathbb{N}$ son tales que $0\le a_{i} < b$ para todo $i$, y $a_{k}\ne0$ (salvo si $m=0$).
Demostración del teorema 6.2 (Fundamental de la numeración):
Existencia (Método de divisiones sucesivas): Si $m < b$, tomamos $a_{0}=m$ y ya está. Si $m\ge b$, aplicamos el algoritmo de la división reiteradamente:
- $m=b\cdot q_{1}+a_{0}$, con $0\le a_{0} < b$.
- Si $q_{1}\ge b$, dividimos $q_{1}: q_{1}=b\cdot q_{2}+a_{1}$, con $0\le a_{1} < b$.
- Sustituyendo: $m=b(bq_{2}+a_{1})+a_{0}=b^{2}q_{2}+ba_{1}+a_{0}$.
Como la sucesión de cocientes es estrictamente decreciente ($m>q_{1}>q_{2}>...$), el proceso es finito (pues no puede haber una sucesión infinita decreciente de naturales). Llegaremos a un paso $k$ donde $q_{k} < b$. Definimos $a_{k}=q_{k}$. La expresión final es $m=a_{k}b^{k}+\cdot\cdot\cdot+a_{1}b+a_{0}$.
Unicidad: Supongamos dos expresiones distintas para $m$:
Podemos completar con coeficientes cero para igualar las potencias más altas, asumiendo $k=s$. Supongamos que son distintas. Entonces existe algún índice donde los coeficientes difieren. Escribimos la igualdad:
Ambos miembros pueden interpretarse como divisiones de $m$ por $b^{k}$. Por la unicidad del cociente y el resto en la división euclídea, debe ser $a_{k}=c_{k}$ y los restos deben ser iguales. Reiterando el proceso para los términos de menor grado, se concluye que $a_{i}=c_{i}$ para todo $i$. $\blacksquare$
El teorema fundamental se comprende mejor manipulando las bases espaciales. La base 10 nos da "unidades, decenas, centenas". En base $b$, tenemos cubos unitarios ($b^0$), barras ($b^1$) y placas cuadradas ($b^2$).
Representación de polinomios en Base $b$
De izquierda a derecha: Placa ($b^2$), Barra ($b^1$), Unidad ($b^0$).
Arrastra con el dedo o ratón para rotar el modelo en 3D.
A lo largo de la historia y en el desarrollo informático moderno se han empleado diversas bases de numeración posicionales y no posicionales. Entre las más representativas destacan la base 2 (sistema binario en circuitos lógicos), la base 5 (quinario antropológico), la base 8 (octal), la base 12 (duodecimal en comercio tradicional) y la base 16 (hexadecimal en direccionamiento de memoria).
Conversor de Número Decimal (hasta 5 cifras) a Diferentes Bases
Descomposición Polinómica Detallada
6.3. Propiedades aritméticas de la numeración
A partir de la representación polinómica, se deducen propiedades útiles para el cálculo:
Un número $m$ escrito en base $b$ tiene $k+1$ cifras si y solo si:
Demostración de la proposición 6.1:
- $(\Rightarrow)$ Si tiene $k+1$ cifras, $m=a_{k}b^{k}+\cdot\cdot\cdot+a_{0}$ con $a_{k}\ge1$. Por un lado: $m\ge1\cdot b^{k}+0=b^{k}$. Por otro lado, como los coeficientes son menores que la base ($a_{i}\le b-1$): $$m\le(b-1)b^{k}+\cdot\cdot\cdot+(b-1)=(b-1)(b^{k}+\cdot\cdot\cdot+1)=(b-1)\frac{b^{k+1}-1}{b-1}=b^{k+1}-1 < b^{k+1}$$
- $(\Leftarrow)$ Si $b^{k}\le m < b^{k+1}$, supongamos que su representación polinómica le otorga $j+1$ cifras. Por lo demostrado en la implicación anterior, debe cumplirse que $b^{j}\le m < b^{j+1}$.
- Si $j>k\Rightarrow m\ge b^{j}\ge b^{k+1}$ (contradicción, ya que $m < b^{k+1}$).
- Si $j < k\Rightarrow m < b^{j+1}\le b^{k}$ (contradicción, ya que $m \ge b^{k}$).
Conclusión
Hemos recorrido el fascinante camino que lleva desde la intuición primitiva de la cantidad hasta la construcción formal del conjunto $\mathbb{N}$ mediante la axiomática de Peano, dotándolo de una sólida estructura algebraica (semianillo) y de orden. Asimismo, hemos visto cómo el desarrollo de los sistemas de numeración posicionales, fundamentados en el Teorema Fundamental de la Numeración y en el Algoritmo de Euclides, resolvió el milenario problema de la representación eficiente y el cálculo algorítmico.
Como futuros docentes de Secundaria y Bachillerato, es fundamental comprender que, aunque los números naturales parezcan conceptualmente triviales, su asimilación requiere que el alumno supere obstáculos epistemológicos similares a los que enfrentó la historia de las matemáticas (la distinción vital entre lo cardinal y lo ordinal, el escurridizo concepto filosófico y operativo del cero, o el poderoso paradigma del valor posicional). Un dominio profundo y estructural de estas axiomáticas nos permitirá guiar a los alumnos desde la aritmética mecánica intuitiva hacia la verdadera abstracción y el pensamiento analítico-algebraico, base ineludible de toda la matemática superior.
Referencias legislativas y bibliográficas
- Peano, G. (1889). Arithmetices principia, nova methodo exposita (Axiomas y construcción formal de $\mathbb{N}$).
- Cantor, G. y Von Neumann, J. (Teoría formal de conjuntos, ordinales puros y cardinalidad).
- Dedekind, R. (1888). ¿Qué son y para qué sirven los números? (Definición de conjuntos infinitos y cadenas conjuntistas).